(a+b)²

Zadanie 1. Liczba dodatnia ma tę własność, że pierwiastek kwadratowy z sumy tej liczby i jej połowy jest równy połowie tej liczby. Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi spośród podanych. Ta liczba jest:

wielokrotnością liczby 3
liczbą pierwszą
liczbą dwucyfrową
wartością wyrażenia \(6^2:4-\frac12\cdot3+7{,}5:(-5)\)

Z warunków zadania przyjmujemy, że liczba dodatnia \(x\) spełnia \[ \sqrt{x+\frac{x}{2}}=\frac{x}{2} \] Upraszczając wyrażenie pod pierwiastkiem: \[ x+\frac{x}{2}=\frac{2x}{2}+\frac{x}{2}=\frac{3x}{2} \] Zatem \[ \sqrt{\frac{3x}{2}}=\frac{x}{2} \] Podnosimy obie strony do kwadratu: \[ \frac{3x}{2}=\frac{x^2}{4} \] Pozbywamy się mianowników poprzez pomnożenie przez 4 i rozwiązujemy równanie: \[ 6=x^2\] \[x^2-6x=0\] \[x(x-6)=0 \] Skoro liczba jest dodatnia, mamy \(x=6\). Sprawdźmy więc odpowiedzi.

A. 6 jest wielokrotnością liczby 3. ✓

B. 6 nie jest liczbą pierwszą. X

C. 6 nie jest dwucyfrowe. X

D. \(6^2:4-\frac12\cdot3+7{,}5:(-5)=36:4-\frac12\cdot3+7{,}5:(-5)=9-1\frac12+\left(-1\frac12\right)=6\) ✓

Odpowiedź: A, D

Zadanie 2. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe. W danym trójkącie wysokości przecinają się w punkcie \(S\). Wynika stąd, że:

suma długości tych wysokości jest mniejsza od obwodu trójkąta.	P	F
suma odległości punktu \(S\) od boków trójkąta jest większa od połowy jego obwodu.	P	F

Niech dany będzie trójkąt \(ABC\) o wysokościach \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\), które przecinają się w punkcie \(S\) - ortocentrum trójkąta. Niech jego obwód wynosi \(O=a+b+c\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są długościami boków.

Zdanie 1

Wysokości w trójkącie są zawsze krótsze od odpowiednich boków, a tym bardziej ich suma nie może przekroczyć sumy boków, czyli obwodu.

W przypadku trójkąta ostrokątnego każda wysokość jest mniejsza od największego boku, a dla prostokątnego i rozwartokątnego ta zależność również pozostaje zachowana. Zatem:

\[ h_a+h_b+h_c\lt a+b+c \]

Zdanie 2

Punkt \(S\) - ortocentrum - może leżeć wewnątrz trójkąta (dla trójkąta ostrokątnego), na wierzchołku kąta prostego (dla prostokątnego), lub poza trójkątem (dla rozwartokątnego).

Odległości ortocentrum od boków nie mają prostego związku z obwodem, a tym bardziej nie można stwierdzić, że ich suma przekracza połowę obwodu. W rzeczywistości te odległości są zwykle znacznie mniejsze niż połowa obwodu. Zatem zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F.

Zadanie 3. Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są dodatnie oraz \(ab=18\), \(bc=42\), a \(ac=21\). Oblicz wartość wyrażenia \(a^2-b^2+2c\).

Mamy \(ab=18\), \(bc=42\), \(ac=21\). Podzielmy pierwsze przez drugie: \[ \frac{ab}{ac}=\frac{18}{21} \] \[ \frac{b}{c}=\frac{18}{21}=\frac{6}{7} \] Z \(bc=42\) i \(b=\frac{6}{7}c\) dostajemy \[ \frac{6}{7}c^2=42 \] Mnożąc obie strony przez \(\frac{7}{6}\): \[ c^2 = 42 \cdot \frac{7}{6} = 7 \cdot 7 = 49 \] \[ c=7 \] (ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo liczby są dodatnie). Stąd \(b=\frac{6}{7}\cdot7=6\) i \(a=\frac{ab}{b}=\frac{18}{6}=3\). Teraz wartość wyrażenia: \[ a^2-b^2+2c=3^2-6^2+2\cdot7=9-36+2\cdot7=9-36+14=-13 \] Odpowiedź: -13

Zadanie 4. W poniedziałek Jacek przebył drogę z domu do szkoły i z powrotem na rowerze. We wtorek do szkoły jechał rowerem, a z powrotem szedł piechotą z powodu awarii roweru. Okazało się, że czas podróży tego dnia był 2 razy dłuższy niż w poniedziałek. W środę drogę w obie strony przebył piechotą. Oblicz, ile razy dłużej trwała podróż Jacka w środę niż w poniedziałek. Zakładamy, że średnia prędkość jazdy na rowerze, jak i marszu w poszczególnych dniach, była jednakowa.

Oznaczmy:
\(t_r\) - czas przejazdu rowerem w jedną stronę, \(t_p\) - czas marszu w jedną stronę.

Poniedziałek: rower w obie strony.

Czas całkowity wynosi: \[ T_{pon}=t_r+t_r=2t_r \]

Wtorek: do szkoły rower, powrót pieszo.

Czas całkowity: \[ T_{wt}=t_r+tp \] Dane mówią, że \(T_{wt}=2T_{pon}\), czyli: \[ t_r+t_p=2\cdot2t_r=4t_r \] \[ t_p=3t_r \]

Środa: pieszo w obie strony:

\[ T_{śr}=t_p+t_p=2t_p=2\cdot3t_r=6t_r \]

Porównanie z poniedziałkiem:

\[ \frac{T_{śr}}{T_{pon}}=\frac{6t_r}{2t_r}=3 \] Odpowiedź: W środę podróż trwała 3 razy dłużej niż w poniedziałek.

Diagram 1 Zadanie 5. Kasia przedstawiła na diagramie 1. trasę, jaką dojeżdża z domu do szkoły. Odległość z kina (K) do szkoły (S) stanowi \(\frac{4}{9}\) całej trasy, a odległość z domu (D) do kina jest równa 1075 m. Oblicz, w jakiej skali wykonała ten rysunek, jeśli cała trasa na diagramie ma 4,5 cm.